ភាពប្លែករ័សុលរបស់: ពមូលដ្ឋាន, ឧទាហរណ៍, ការបង្កើត

រ័សុលចម្លែកណាស់គឺពីរ antinomy ឡូជីខលពឹងពាក់គ្នាទៅវិញទៅមក។

ទម្រង់ពីរនៃការចម្លែកណាស់រ័សុលរបស់

សំណុំបែបបទច្រើនបំផុតបានពិភាក្សាជាញឹកញាប់នៃការផ្ទុយនៅក្នុងសំណុំតក្កមួយ។ មួយចំនួននៃសំណុំហាក់ដូចជាសមាជិកខ្លួនឯងនិងអ្នកដទៃទៀត - គ្មាន។ សំណុំនៃសំណុំទាំងអស់គឺខ្លួនវាផ្ទាល់សំណុំមួយដូច្នេះវាហាក់ដូចជាថាវាសំដៅទៅខ្លួនវា។ NULL ឬទទេ, ទោះជាយ៉ាងណា, មិនគួរជាសមាជិករបស់ខ្លួន។ ដូច្នេះសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់, ដូចជាសូន្យមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលទៅក្នុងខ្លួនវាផ្ទាល់។ ចម្លែកណាស់ដែលបានកើតឡើងនៅពេលដែលសំណួរថាតើសំណុំនៃសមាជិកនៃខ្លួនវាមួយ។ នេះគឺជាការដែលអាចធ្វើបានប្រសិនបើវាគឺជាការមិនបាន។

ចម្លែកណាស់ដែលសំណុំបែបបទមួយទៀតគឺទាក់ទងនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិមួយផ្ទុយ។ លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនហាក់ដូចជាសំដៅទៅលើខ្លួនឯងខណៈពេលដែលអ្នកផ្សេងទៀតមិនមាន។ ទ្រព្យជាកម្មសិទ្ធិខ្លួនវាគឺជាអចលនទ្រព្យមួយខណៈពេលដែលអចលនទ្រព្យត្រូវបានវាឆ្មាមួយគឺមិនមែនទេ។ សូមពិចារណាលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការមានទ្រព្យសម្បត្តិដែលមិនមែនជារបស់គាត់។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានអនុវត្តទៅខ្លួនវា? ជាថ្មីម្តងទៀតណាមួយនៃការសន្មត់គួរតែផ្ទុយពីនេះ។ ចម្លែកណាស់ដែលត្រូវបានគេដាក់ឈ្មោះនៅក្នុងកិត្តិយសនៃលោក Bertrand រ័សុល (1872-1970) ដែលបានរកឃើញវានៅក្នុងឆ្នាំ 1901 ។

រឿង

ការបើករ័សុលកើតឡើងកំឡុងពេលការងាររបស់គាត់នៅលើ "គោលការណ៍នៃគណិតវិទ្យា" ។ ទោះបីជាលោកបានរកឃើញភាពប្លែកដោយឯករាជ្យ, មានភស្តុតាងថាអ្នកគណិតវិទ្យាផ្សេងទៀតនិងអភិវឌ្ឍន៍នៃទ្រឹស្តីសំណុំរួមបញ្ចូលទាំងក្រុមហ៊ុន Ernst Zermelo និង លោក David Hilbert, បានដឹងពីកំណែដំបូងនៃការផ្ទុយមុនពេលគាត់។ រ័សុល, ទោះជាយ៉ាងណា, ជាលើកដំបូងដែលបានពិភាក្សានៅក្នុងលម្អិតចម្លែកណាស់ដែលនៅក្នុងស្នាដៃរបស់គាត់ដែលបានចេញផ្សាយជាលើកដំបូងព្យាយាមដើម្បីបង្កើតដំណោះស្រាយនិងជាលើកដំបូងដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់នូវសារៈសំខាន់របស់ខ្លួន។ មួយជំពូកទាំងមូលនៃ "គោលការណ៍" ត្រូវបាន devoted ទៅការពិភាក្សាបញ្ហានេះហើយកម្មវិធីនេះត្រូវបាន devoted ទៅនឹងទ្រឹស្តីនៃប្រភេទដែលបានស្នើឡើងជាដំណោះស្រាយរ័សុលមួយ។

រ័សុលបានរកឃើញ "ចម្លែកណាស់នៃអ្នកកុហក, ពិចារណាទ្រឹស្តីសំណុំ Cantor បានរបស់ដែលនិយាយថាអំណាចនៃសំណុំណាមួយមានទំហំតូចជាងសំណុំនៃសំណុំរងរបស់ខ្លួន។ យ៉ាងហោចណាស់នៅក្នុងដែនគួរតែសំណុំរងជាច្រើនដូចជាមានធាតុនៅក្នុងវា, ប្រសិនបើសំណុំរងនៃធាតុមួយត្រូវបានកំណត់ដែលមានគ្នាតែធាតុនេះ។ លើសពីនេះទៀត Cantor បានបង្ហាញថាចំនួននៃធាតុនេះមិនអាចស្មើនឹងចំនួននៃសំណុំរងនេះ។ ប្រសិនបើមានចំនួនដូចគ្នានេះវានឹងត្រូវមានលក្ខណៈពិសេសƒធាតុដែលនឹងបង្ហាញនៅលើសំណុំរងរបស់ខ្លួន។ នៅពេលជាមួយគ្នានេះវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថានេះគឺជាការមិនអាចទៅរួចទេ។ ធាតុមួយចំនួនអាចនឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅលើសំណុំរងមុខងារƒដែលមានពួកគេខណៈពេលដែលអ្នកផ្សេងទៀតអាចមិនមាន។

សូមពិចារណាសំណុំរងនៃធាតុដែលមិនមែនជារបស់រូបភាពរបស់ពួកគេដែលពួកគេបានបង្ហាញƒនេះ។ វាគឺជាការខ្លួនវាផ្ទាល់សំណុំរងនៃធាតុមួយហើយដូច្នេះមុខងារƒនឹងបង្ហាញវានៅលើធាតុក្នុងដែនមួយ។ បញ្ហានោះគឺថាបន្ទាប់មកសំណួរកើតឡើងថាតើធាតុនេះជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំរងដែលវាបង្ហាញƒនេះ។ នេះគឺជាការអាចធ្វើទៅបានតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើវាមិនជាកម្មសិទ្ធិ។ ចម្លែកណាស់រ័សុលរបស់អាចនឹងត្រូវបានគេមើលឃើញថាជាឧទាហរណ៍នៃបន្ទាត់ដូចគ្នានៃហេតុផលមួយសាមញ្ញប៉ុណ្ណោះ។ តើមានអ្វីជាច្រើនទៀត - សំណុំឬសំណុំរងនៃសំណុំនេះ? វានឹងហាក់បីដូចថាវាគួរតែសិតច្រើនទៀត, ជាសំណុំរងទាំងអស់នៃសំណុំខ្លួនឯង។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើទ្រឹស្តីបទ Cantor បានគឺជាការពិត, បន្ទាប់មកគួរតែមានសំណុំរងបន្ថែមទៀត។ រ័សុលបានចាត់ទុកថាគ្រាន់តែបង្ហាញសំណុំលើខ្លួនគេនិងអនុវត្តវិធីសាស្រ្ត kantoriansky ពិចារណាសំណុំនៃធាតុទាំងអស់នេះ, នៅខាងក្រៅនៃសំណុំដែលពួកគេត្រូវបានបង្ហាញនោះទេ។ ការបង្ហាញរ័សុលបានក្លាយទៅជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់, ដែលមិនមែនមួយ។

កំហុស Frege

«ចម្លែកណាស់នៃអ្នកកុហកបាន "មានឥទ្ធិពលយ៉ាងជ្រៅលើការអភិវឌ្ឍប្រវត្តិសាស្រ្តនៃទ្រឹស្តីនៃសំណុំនេះ។ គាត់បានបង្ហាញថាគំនិតនៃសំណុំសកលនេះជាបញ្ហាយ៉ាងខ្លាំង។ លោកបានចោទសួរចំពោះលក្ខខណ្ឌសញ្ញាណដែលបានកំណត់គ្នាឬការព្យាករណ៍ពីអត្ថិភាពនៃអាចសន្មត់មានតែរឿងពហុភាពដែលបានបំពេញលក្ខខណ្ឌទាំងនោះនេះជាមួយ។ ចម្លែកណាស់ជម្រើសដែលទាក់ទងនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិ - ការអភិវឌ្ឍបែបធម្មជាតិទៅសំណុំកំណែ - បានបង្កើនការសង្ស័យយ៉ាងខ្លាំងថាតើវាគឺអាចធ្វើបានដើម្បីតវ៉ាអំពីអត្ថិភាពគោលដៅនៃទ្រព្យមួយឬការអនុលោមទៅនឹងលក្ខខណ្ឌជារៀងរាល់កំណត់ដោយ, ឬការព្យាករណ៍ជាសកល។

មិនយូរប៉ុន្មានផ្ទុយនិងបញ្ហានៅក្នុងការងាររបស់អ្នកតក្កវិទ្យានេះត្រូវបានរកឃើញ, ទស្សនវិទូនិងគណិតវិទូដែលបានធ្វើការសន្មត់ស្រដៀងគ្នា។ ក្នុងឆ្នាំ 1902, រ័សុលបានរកឃើញថាវ៉ារ្យ៉ង់នៃភាពប្លែកមួយដែលអាចត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងប្រព័ន្ធឡូជីខល, បង្កើតឡើងនៅក្នុងកម្រិតសំឡេងខ្ញុំនៃ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃនព្វន្ធ" Gottlob Frege ជាផ្នែកមួយនៃការងារសំខាន់នៅលើតក្កនៃ XIX ចុងនេះ - នៅដើមសតវត្សទី XX ។ ក្នុងទស្សនវិជ្ជានៃ Frege ជាច្រើនយល់ថាជា "ផ្នែកបន្ថែម" ឬ "តម្លៃជួរ" គំនិត។ គំនិតនេះគឺនៅជិតទៅនឹងអ្នកដែលជាប់ទាក់ទង។ ពួកគេត្រូវបានគេរំពឹងថានឹងមានស្ថានភាពឬការព្យាករណ៍បានផ្ដល់ឱ្យទេ។ ដូច្នេះគឺមានគោលគំនិតនៃសំណុំដែលមិនស្ថិតនៅក្រោមគំនិតកំណត់របស់ខ្លួន។ វាមានថ្នាក់ដែលបានកំណត់ដោយគំនិតនេះហើយវាគឺជាប្រធានបទត្រូវកំណត់គោលគំនិតរបស់ខ្លួនតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើវាគឺជាការមិនបាន។

រ័សុលបានសរសេរទៅ Frege អំពីជម្លោះនេះ, នៅក្នុងខែមិថុនាឆ្នាំ 1902 ឆ្លើយឆ្លងជាផ្នែកមួយនៃការគួរឱ្យរំភើបបំផុតនិងបាននិយាយអំពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃតក្កនៅនេះ។ Frege ភ្លាមទទួលស្គាល់ជាផលវិបាកមហន្តរាយនៃភាពប្លែកនេះ។ លោកបានកត់សម្គាល់ផងដែរថាកំណែនៃការចម្រូងចម្រាសដែលទាក់ទងនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិដែលនៅក្នុងទស្សនៈវិជ្ជារបស់គាត់ត្រូវបានដោះស្រាយដោយការយល់គ្នារវាងគំនិតកម្រិត។

សញ្ញាណ Frege លោកយល់ថាជាការផ្លាស់ប្តូរពីការអាគុយម៉ង់នៃមុខងារទៅ TRUE នេះ។ គំនិតកម្រិតទីមួយទទួលយកជាអាគុយម៉ង់វត្ថុនៃគំនិតកម្រិតទីពីរយកជាអាគុយម៉ង់ទៅមុខងារទាំងនេះហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដូច្នេះគំនិតនេះមិនអាចទទួលយកបានដោយខ្លួនវាជាអាគុយម៉ង់និងចម្លែកណាស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលមិនអាចត្រូវបានបង្កើត។ ទោះជាយ៉ាងណាសំណុំការពង្រីកឬគំនិត Frege យល់ថាជាសំដៅទៅលើប្រភេទឡូជីខលដូចគ្នាថាការនៃវត្ថុផ្សេងទៀតទាំងអស់។ បន្ទាប់មកសម្រាប់សំណុំរៀងរាល់មានសំណួរថាតើវាស្ថិតនៅក្រោមគំនិតនៃការកំណត់វា។

ពេល Frege, រ័សុលបានទទួលលិខិតជាលើកដំបូង, ភាគទីពីរនៃ "មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃនព្វន្ធ" ត្រូវបានបញ្ចប់ការបោះពុម្ពរួចទៅហើយ។ គាត់ត្រូវបានគេបង្ខំឱ្យរៀបចំកម្មវិធីដែលផ្តល់នូវចម្លើយទៅនឹងភាពប្លែករបស់រ័សុលនេះមួយយ៉ាងឆាប់រហ័ស។ ឧទាហរណ៍ Frege ដែលមានចំនួននៃដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបាន។ ប៉ុន្តែលោកបានមកដល់ការសន្និដ្ឋានចុះខ្សោយគំនិតនៃសំណុំអរូបីនៅក្នុងប្រព័ន្ធឡូជីខល។

នៅក្នុងដើមនេះវាគឺអាចធ្វើទៅបានសន្និដ្ឋានថាវត្ថុដែលជារបស់សំណុំប្រសិនបើវាធ្លាក់នៅក្នុងគំនិតនេះ, កំណត់វា។ ប្រព័ន្ធកែលម្អតែអាចសន្និដ្ឋានថាវត្ថុដែលជារបស់សំណុំប្រសិនបើវាធ្លាក់នៅក្នុងសញ្ញាណនៃការមួយកំណត់ពហុភាពប៉ុន្តែមិនបានកំណត់នៅក្នុងសំណួរ។ ចម្លែកណាស់រ័សុលរបស់កើតឡើង។

ដំណោះស្រាយនេះ, ទោះជាយ៉ាងណាមិនពេញចិត្តទាំងស្រុងជាមួយនឹងការ Frege ។ ហើយនេះគឺជាហេតុផល។ ជាច្រើនឆ្នាំក្រោយមក, ទម្រង់បែបបទស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតនៃផ្ទុយគ្នាត្រូវបានរកឃើញសម្រាប់ប្រព័ន្ធកែសំរួល។ ប៉ុន្តែសូម្បីតែមុនពេលនេះបានកើតឡើង Frege បោះបង់ចោលការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់និងហាក់ដូចជាចូលមកដល់ការសន្និដ្ឋានថាវិធីសាស្រ្តរបស់គាត់គឺ unworkable ធម្មតា, និងតក្កដែលនឹងត្រូវធ្វើការដោយគ្មានការណាមួយនៃសំណុំនេះ។

នៅតែមានអ្នកផ្សេងទៀតត្រូវបានគេស្នើសុំដំណោះស្រាយជម្រើសដែលទាក់ទងទទួលបានជោគជ័យបន្ថែមទៀត។ ទាំងនេះត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីនៃប្រភេទ

វាត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ខាងលើថា Frege គឺជាការឆ្លើយតបគ្រប់គ្រាន់ដើម្បី paradox នៃការបង្កើតទ្រឹស្តី នៅក្នុងកំណែនេះបានបង្កើតសម្រាប់លក្ខណៈសម្បត្តិ។ ការឆ្លើយតប Frege ត្រូវបានបន្តដោយភាគច្រើនបានពិភាក្សាជាដំណោះស្រាយសំណុំបែបបទនៃញឹកញាប់ដើម្បីភាពប្លែកនេះ។ វាត្រូវបានផ្អែកលើការពិតដែលថាលក្ខណៈសម្បត្តិដែលជាកម្មវត្ថុនៃការប្រភេទផ្សេងគ្នានិងអ្វីដែលប្រភេទនៃការអចលនទ្រព្យគឺមិនដូចគ្នានឹងធាតុដែលវាសំដៅនេះ។

ដូច្នេះមិនបានសូម្បីតែសំណួរកើតឡើង, ថាតើអចលនទ្រព្យគឺអាចអនុវត្តទៅខ្លួនវា។ ភាសាឡូជីខលដែលបានបំបែកធាតុនៃឋានានុក្រមមួយបែបនេះដោយប្រើទ្រឹស្តីនៃប្រភេទនេះ។ ទោះបីជាវាត្រូវបានគេប្រើរួចទៅហើយដោយ Frege ជាលើកដំបូងវាត្រូវបានពន្យល់យ៉ាងពេញលេញនិងមានភស្តុតាងរ័សុលនៅក្នុងឧបសម្ព័ន្ធទៅជា "គោលការណ៍នេះ" ។ ទ្រឹស្តីនៃប្រភេទនេះគឺកាន់តែពេញលេញជាងកម្រិត Frege ភាពខុសគ្នានេះ។ នាងបានចែករំលែកលក្ខណៈសម្បត្តិគឺមិនត្រឹមតែប្រភេទផ្សេងគ្នានៃតក្ក, ប៉ុន្តែការដែលបានកំណត់ផងដែរ។ វាយទ្រឹស្តីដើម្បីដោះស្រាយក្នុងការចម្លែកណាស់ផ្ទុយពីរ័សុលខាងក្រោម។

ក្នុងគោលបំណងដើម្បីក្លាយជាការគ្រប់គ្រាន់ទស្សនវិទូ, ការអនុម័តនៃទ្រឹស្តីនៃប្រភេទនៃលក្ខណៈសម្បត្តិនេះតម្រូវឱ្យមានការអភិវឌ្ឍនៃទ្រឹស្តីនៃធម្មជាតិនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដូច្នេះថានេះអាចពន្យល់អំពីមូលហេតុដែលពួកគេមិនអាចត្រូវបានអនុវត្តទៅខ្លួនឯង។ នៅ glance ដំបូងវាធ្វើឱ្យយល់បានដើម្បី predicate អចលនទ្រព្យផ្ទាល់របស់ខ្លួន។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃការខ្លួនឯងអត្តសញ្ញាណនេះវាហាក់បីដូចជាវាគឺជាអត្តសញ្ញាណដោយខ្លួនឯងផងដែរ។ អចលនទ្រព្យនេះហាក់ដូចជារីករាយស្រស់ស្អាត។ នៅក្នុងវិធីដូចគ្នានេះដែរជាក់ស្តែង, វាហាក់បីដូចជាមិនពិតការនិយាយថាទ្រព្យសម្បត្ដិនៃការឆ្មាមួយនេះគឺជាឆ្មាមួយ។

ទោះជាយ៉ាងណាអ្នកគិតផ្សេងគ្នាបានរាប់ជាសុចរិតការបែងចែកនៃប្រភេទផ្សេងគ្នា។ រ័សុលការពន្យល់ផ្សេងគ្នាសូម្បីតែបានផ្ដល់ឱ្យនៅតាមដងផ្សេងគ្នានៅក្នុងអាជីពរបស់គាត់។ សម្រាប់ជាផ្នែកមួយរបស់ខ្លួន, ហេតុផលសមរម្យសម្រាប់ការបំបែកនៃគំនិតផ្សេងគ្នានៃកម្រិត Frege នេះបានមកពីទ្រឹស្តីរបស់លោកនៃគំនិតមិនឆ្អែត។ គំនិតជាមុខងារក្នុងការសារៈសំខាន់គឺមិនពេញលេញ។ ដើម្បីផ្តល់នូវតម្លៃ, ពួកគេត្រូវការអាគុយម៉ង់មួយ។ អ្នកមិនអាចគ្រាន់តែមួយគំនិតគំនិតនៃការទៅ predicate ដូចគ្នានេះប្រភេទព្រោះវានៅតែទាមទារអាគុយម៉ង់របស់ខ្លួន។ ឧទាហរណ៍: ទោះបីជាវាគឺអាចធ្វើបានដើម្បីទទួលយកឬសការ៉េនៃឫសការ៉េនៃចំនួនអ្នកអាចមិនមែនគ្រាន់តែប្រើមុខងារឫសការេទៅនឹងអនុគមន៍ឫសការ៉េនិងទទួលបានលទ្ធផល។

អំពីលក្ខណៈសម្បត្តិអភិរក្សនិយម

ដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើទៅបានមួយផ្សេងទៀតគឺលក្ខណៈសម្បត្តិចម្លែកណាស់លក្ខណៈសម្បត្តិអវិជ្ជមាននៅក្រោមលក្ខខណ្ឌដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអត្ថិភាពណាមួយឬការព្យាករណ៍ផងដែរដែលបានបង្កើតឡើង។ ជាការពិតណាស់ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ eschews លក្ខណៈសម្បត្តិនៃធាតុជំនឿនិងឯករាជ្យទាំងពីរមានគោលបំណងទាំងមូល, បើយើងយកភាពប្លែកបន្ទាប់បន្សំអាចត្រូវបានជៀសវាងទាំងស្រុង។

ទោះជាយ៉ាងណា, ដើម្បីដោះស្រាយ antinomy មិនចាំបាច់ខ្លាំងដូច្នេះ។ តក្កវិទ្យាលំដាប់មួយខ្ពស់បានអភិវឌ្ឍន៍ប្រព័ន្ធនិងរ័សុល Frege, មានអ្វីដែលត្រូវបានគេហៅថាគោលការណ៍គំនិតមួយបើយោងតាមដែលរូបមន្តបើកចំហគ្នាគិតពីរបៀបដែលស្មុគ្រស្មាញដែលមានជាផ្នែកមួយនៃអចលនទ្រព្យមួយឬគំនិតឧទាហរណ៍មានតែធាតុដែលផ្គូផ្គងរូបមន្ត។ ពួកគេបានអនុវត្តទៅគ្រប់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃសំណុំលក្ខខណ្ឌដែលអាចធ្វើបានឬ predicate នេះគ្មានបញ្ហាថាតើស្មុគ្រស្មាញពួកគេបាន។

ទោះជាយ៉ាងណាវាគឺជាការដែលអាចធ្វើបានដើម្បីទទួលយកលក្ខណៈសម្បត្តិ Metaphysics ដែលមានការពិបាកជាច្រើនទៀត, ផ្តល់សិទ្ធិទៅអត្ថិភាពគោលដៅនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញ, រួមទាំងឧទាហរណ៍ដូចជាពណ៍ក្រហម, ក្រុមហ៊ុន, សេចក្ដីសប្បុរសនិងដូច្នេះនៅលើ។ ឃសូម្បីតែអ្នកអាចអនុញ្ញាតឱ្យមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះអនុវត្តទៅដោយខ្លួនឯង, ដូចជាសប្បុរសអាចធ្វើបាន ត្រូវមានចិត្ដសប្បុរស។

និងស្ថានភាពដូចគ្នាសម្រាប់គុណលក្ខណៈស្មុគ្រស្មាញអាចត្រូវបានបដិសេធ, ឧទាហរណ៍, "លក្ខណៈសម្បត្តិ" ដូចជាមានដប់ប្រាំពីរក្បាលត្រូវបានសរសេរនៅក្រោមទឹកនិងដូច។ ឃក្នុងករណីនេះគ្មានលក្ខខណ្ឌដែលបានកំណត់ទុកជាមុនមិនបំពេញទ្រព្យយល់ថាជាដោយឡែកពីគ្នា ធាតុដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិផ្ទាល់របស់ខ្លួនដែលមានស្រាប់។ ដូច្នេះមួយអាចបដិសេធអត្ថិភាពនៃលក្ខណៈសម្បត្តិសាមញ្ញតែមានអចលនទ្រព្យដែលអនុវត្តដែលមិនមែនជាខ្លួនឯងដើម្បីភាពប្លែកដោយនិងជៀសវាងការដាក់ពាក្យសុំលក្ខណៈសម្បត្តិជំនឿអភិរក្សបន្ថែមទៀត។

ភាពប្លែករ័សុលរបស់: ដំណោះស្រាយ

ខាងលើវាត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ឃើញថានៅចុងបញ្ចប់នៃជីវិតរបស់គាត់ Frege បោះបង់ចោលទាំងស្រុងតក្កនៃសំណុំនេះ។ នេះជាការពិតណាស់, មួយដំណោះស្រាយដើម្បី antinomy ក្នុងសំណុំបែបបទនៃសំណុំ: មួយការបដិសេធធម្មតានៃអត្ថិភាពនៃធាតុដូចជាការទាំងមូល។ លើសពីនេះទៀតគឺមានជម្រើសពេញនិយមផ្សេងទៀតមូលដ្ឋាននៃការដែលត្រូវបានបង្ហាញខាងក្រោម។

ទ្រឹស្តីសម្រាប់មនុស្សជាច្រើនប្រភេទនៃការ

ដូចបានរៀបរាប់ខាងលើ, រ័សុលលេងសម្រាប់ទ្រឹស្តីពេញលេញជាច្រើនទៀតនៃប្រភេទដែលនឹងចែករំលែកមិនត្រឹមតែទ្រព្យសម្បត្តិឬគំនិតដើម្បីប្រភេទផ្សេងគ្នា, ប៉ុន្តែការដែលបានកំណត់ផងដែរ។ រ័សុលចែករំលែកបានកំណត់នៅលើការមានពហុភាពនៃគ្រឿងដាច់ដោយឡែកមួយ, ពហុភាពនៃសំណុំនៃវត្ថុដាច់ដោយឡែកលជាសំណុំនៃវត្ថុនេះត្រូវបានគេមិនបានចាត់ទុកនិងពហុភាពនៃសំណុំមួយ - .. កំណត់។ ជាច្រើនមិនរីករាយប្រភេទមួយអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកមានជាសមាជិករបស់ខ្លួន។ ហេតុនេះហើយបានជានៅទីនោះគឺជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមែនជាសមាជិករបស់ខ្លួននោះទេដោយសារតែសម្រាប់សំណុំសំណួរអំពីថាតើវាគឺជាសមាជិកមួយគឺជាការរំលោភមួយដោយខ្លួនឯងប្រភេទណា។ ជាថ្មីម្តងទៀតបញ្ហានៅទីនេះគឺដើម្បីពន្យល់សំណុំបរមត្ថដើម្បីពន្យល់ពីផ្នែកគ្រឹះទស្សនវិជ្ជាចូលទៅក្នុងប្រភេទ។

ការ stratification

ក្នុងឆ្នាំ 1937 V. ការ V. ការ Kuayn បានផ្តល់ដំណោះស្រាយជំនួស, នៅក្នុងវិធីដែលស្រដៀងគ្នាទៅនឹងទ្រឹស្តីនៃប្រភេទនេះ។ ពមូលដ្ឋានអំពីវា។

បំបែកសំណុំនិងអ្នកដទៃទៀតធាតុ។ ដូច្នេះការសន្មត់ដែលផលិតស្វែងរកការមានពហុភាពនៃការតែងតែមិនត្រឹមត្រូវឬគ្មានន័យ។ កំណត់អាចត្រូវបានផ្ដល់តែនៅពេលកំណត់លក្ខខណ្ឌរបស់ពួកគេគឺមិនមែនជាប្រភេទរំលោភបំពាន។ ដូច្នេះសម្រាប់លោកក្វីនបានកន្សោម "X គឺមិនមែនជាសមាជិកនៃ x មួយ" សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលមានអត្ថន័យជាការមិនបានបញ្ជាក់ពីអត្ថិភាពមិនសំណុំនៃធាតុទាំងអស់ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ x នេះ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះសំណុំមានសម្រាប់រូបមន្តមួយបើកចំហរមួយចំនួនប្រសិនបើវាត្រូវបាន stratified, t, ក។ E. ប្រសិនបើអថេរត្រូវបានកំណត់ចំនួនគត់វិជ្ជមានដូចថាសម្រាប់ការកើតឡើងលក្ខណៈគ្នានៃពហុភាពនៃការមុនវាអថេរត្រូវបានកំណត់ឯកតាកិច្ចការតូចជាងអថេរ ខាងក្រោមនេះបន្ទាប់ពីគាត់។ ភាពប្លែកនេះប្លុករ័សុលរបស់លោកចាប់តាំងពីរូបមន្តប្រើដើម្បីកំណត់សំណុំបញ្ហានេះគឺមានដូចគ្នានៅមុនពេលនិងក្រោយសញ្ញាសមាជិកអថេរធ្វើឱ្យវា unstratified ។

ប៉ុន្តែវាមិនទាន់បានកំណត់ថាតើប្រព័ន្ធលទ្ធផលដែលលោកក្វីនបានហៅថា«មូលដ្ឋានគ្រឹះថ្មីនៃតក្កគណិតវិទ្យា "ស្រប។

ការបដិសេធ

វិធីសាស្រ្តមួយខុសគ្នាទាំងស្រុងគឺត្រូវបានយកទ្រឹស្តីនៃ Zermelo ក្នុងនោះ - Fraenkel (ZF) ។ នៅទីនេះផងដែរដែលបានកំណត់ដែនកំណត់មួយនៅលើអត្ថិភាពនៃសំណុំនេះ។ ផ្ទុយទៅវិញវិធីសាស្ដ្រ "កំពូលចុះ" នៃរ័សុលនិង Frege ដែលបានចាប់ផ្តើមគិតថាសម្រាប់គំនិតទាំងអស់, លក្ខណៈសម្បត្តិឬលក្ខខណ្ឌប្រហែលជាណែនាំអត្ថិភាពនៃសំណុំនៃរឿងទាំងអស់នេះជាមួយនឹងទ្រព្យសម្បត្ដិនេះឬដើម្បីបំពេញតាមលក្ខខណ្ឌមួយនោះក្នុង ZF-ទ្រឹស្តី, អ្វីគ្រប់យ៉ាងចាប់ផ្តើម "ពីបាតឡើង»។

ធាតុបុគ្គលនៃសំណុំទទេនិងបង្កើតសំណុំ។ ដូច្នេះមិនដូចប្រព័ន្ធមុននិង Russell Frege FIT មិនមែនជារបស់សំណុំសកលដែលរួមបញ្ចូលទាំងធាតុទាំងអស់និងសូម្បីតែសំណុំទាំងអស់។ ZF កំណត់ដែនកំណត់យ៉ាងតឹងរឹងលើអត្ថិភាពនៃសំណុំនេះ។ អាចមានតែអ្នកដែលត្រូវបានស្នើឡើងយ៉ាងច្បាស់វាមានឬដែលអាចត្រូវបានបង្កើតដោយមធ្យោបាយនៃដំណើរការដងនិងដូចជា។ ឃ

បន្ទាប់មកជំនួសឱ្យការសំណុំរឿងឆោតល្ងង់ទាញយកគំនិតដែលចែងថាធាតុពិសេសមួយដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសំណុំប្រសិនបើវាជួបលក្ខខណ្ឌដែលជាគោលការណ៍ការបំបែកដែលប្រើ DF: ការបំបែកឬ "តម្រៀប" ។ ជំនួសឱ្យការសន្មត់ថាអត្ថិភាពនៃសំណុំនៃធាតុទាំងអស់ដែលជាដោយគ្មានករណីលើកលែងដែលបានបំពេញលក្ខខណ្ឌជាក់លាក់មួយសម្រាប់សំណុំដែលមានស្រាប់គ្នា Aussonderung បង្ហាញថាអត្ថិភាពនៃសំណុំរងនៃធាតុទាំងអស់នៅក្នុងសំណុំដើមដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌនេះ។

បន្ទាប់មកគោលការណ៍អរូបី: ប្រសិនបើសំណុំដែលមាន, បន្ទាប់មក, សម្រាប់ x ទាំងអស់នៅក្នុងមួយ, X ជារបស់សំណុំរងមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌដែលបានលុះត្រាតែ x ពេញចិត្តគស្ថានភាពវិធីសាស្រ្តនេះដោះស្រាយភាពប្លែករ័សុល, ចាប់តាំងពីយើងមិនអាចគ្រាន់តែសន្មត់ នោះគឺជាសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់ដែលមិនមែនជាសមាជិករបស់ខ្លួនឯង។

មានច្រើននៃសំណុំមួយអ្នកអាចជ្រើសឬចែកវាទៅក្នុងសំណុំដែលមាននៅក្នុងខ្លួនរបស់គេនិងអ្នកដែលមិនមែនជាបែបនេះប៉ុន្តែចាប់តាំងពីមិនមានសំណុំសកលយើងមិនត្រូវបានចងសំណុំនៃសំណុំទាំងអស់។ បើគ្មានការសន្មត់ថាបញ្ហានេះបានកំណត់រ័សុលផ្ទុយគ្នាមិនអាចត្រូវបានបង្ហាញឱ្យឃើញ។

ដំណោះស្រាយផ្សេងទៀត

លើសពីនេះទៀតការបន្ថែមឬការកែប្រែជាបន្តបន្ទាប់នៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នេះបានកើតឡើងដូចជាការបែងចែកទ្រឹស្តីនៃ "គោលការណ៍គណិតវិទ្យា" ការពង្រីកប្រព័ន្ធ "គណិតវិទ្យាតក្កវិទ្យា" ដោយលោកឈីនក៏ដូចជាការវិវត្តន៍ក្រោយៗនៅក្នុងទ្រឹស្តីដែលបានបង្កើតឡើងដោយប៊ែរណេយហ្គេដេលនិងវ័ននូម៉ាន់។ សំណួរថាតើចម្លើយទៅនឹងមតិផ្ទុយគ្នានៃលោកប៊ឺតរ័សុលត្រូវបានគេរកឃើញនៅតែជាបញ្ហានៃការពិភាក្សា។